Esistono in geometria delle trasformazioni non isometriche, in seguito alle quali le figure non restano congruenti, bensì si modificano in vari modi.
Per studiare e definire le trasformazioni geometriche occorre stabilire quali proprietà della figura trasformata non variano con la trasformazione.
Sono varianti: la forma; l'area; gli angoli; la lunghezza delle diagonali.
Sono invarianti: il parallelismo dei lati opposti; la lunghezza dei lati e quindi il perimetro.
Si dicono invarianti in una data trasformazione geometrica le proprietà di una figura comunque assegnata che si conservano nella figura trasformata.
Si dice omotetia di centro O e di rapporto K la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto P di una figura il punto PI di un'altra figura in modo che i punti P e PI siano allineati con O e che il rapporto fra i segmenti OPI e OP sia costante.
La corrispondenza che si stabilisce tra i punti del piano nel modo descritto prende il nome di omotetia diretta. (K>0)
Il punto O si chiama centro dell'omotetia; il rapporto tra le due distanze è la costante di omotetia, prende il nome di rapporto o caratteristica e si indica con k.
La corrispondenza che si stabilisce tra i punti del piano nel modo descritto prende il nome di omotetia inversa. (K<0)
Il punto O prende il nome di centro dell' omotetia; il rapporto tra le due distanze è la costante di omotetia, prende il nome di rapporto di il rapporto o caratteristica e si indica con k.
L' omotetia fra due figure stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che:
- mantiene il parallelismo tra i lati, lasciando quindi inalterata l' ampiezza degli angoli;
- cambia le misure dei lati corrispondenti secondo un rapporto costante uguale alle caratteristiche.
Le dimensioni di una figura in una omotetia (diretta o inversa) dipendono dal valore del rapporto:
- se k è maggiore di 1 (k > 1) si ottiene un ingrandimento;
- se k è minore di 1 (k < 1) si ottiene un rimpicciolimento.
Il prodotto di due omotetie con centri diversi e rapporti h e k corrisponde a:
una traslazione se hk = 1, in questo caso il vettore di traslazione è il segmento orientato che congiunge una coppia di punti omologhi.
Il prodotto di due omotetie con centri diversi e rapporti h e k corrisponde a:
una simmetria centrale se hk = -1, in questo caso il centro della simmetria è il punto medio del segmento che congiunge una coppia di punti omologhi ed è allineato con i centri dell'omotetia.
Il prodotto di due omotetie con centri diversi e rapporti h e k corrisponde a:
una omotetia di rapporto hk in generale, in questo caso il centro dell'omotetia è il punto di intersezione delle rette che congiungono due coppie di punti omologhi è tale punto appartiene alla retta dei centri dell'omotetia.
